工科直男的选择—关注数据离散程度

上一篇我们关注反映分布集中趋势的指标，集中趋势表示的是分布的中心位置或一般水平的代表值。我们不能仅仅关注代表值、平均值、中心值，我们也要关注差异程度。

☉ 举一个栗子，某工科直男找工作，有三份工作机会摆在他面前，三份工作的月平均收入分别是10k、15k、30k。从平均值来看，不容置疑第三份工作好。但工科男学过统计学，他又仔细算了一笔账。第一份工作是在国企，工资雷打不动，每个月都是10k。第二份工作是在私企，工资每月在10k～20k浮动，因为有“万恶的KPI”。第三份工作，有个创业小机会摆在他面前，收入剧增，但是收益与风险并存，干得好的时候一个月60k也有可能，订单没有时就得吃馒头咸菜。

从这个栗子反映出了收入有浮动，怎么测算收入的浮动程度呢？本篇介绍几个常用的、代表性的指标。

◢ 1. 极差

极差（range）也称为全距，是数据最大值减去最小值之差，它是数据离散或差异程度的最简单测度值，即R=max（x_i）-min（x_i）。显然，数据的分散程度越大，极差就越大。极差的计算很简单，但它易受极端值的影响，因为它只利用了数据两端的信息。

◢ 2. 内距

内距（inter-quartile range, IQR）是两个四分位数之差，即内距=上四分位数-下四分位数=Q₃-Q₁。内距是与集中趋势代表值中四分位数相对应的离散程度代表值。内距基本不受极端值的影响，而且内距反映的是中间50%数值大小的差异，显示比极差更多的数据差异信息。

◢ 3. 方差和标准差

方差（variance）是离差平方的平均数，即

这是样本方差的计算公式，s²表示样本方差，表示样本均值，n 表示样本容量，（n-1）称为自由度。为什么样本方差s²的n个离差平方和不除以n而除以（n-1）呢？也就是说样本方差的自由度取（n-1）而不取n呢？在这里我们说一说自由度(degree of freedom, df)。

标准差是方差的平方根，即

方差是以平方的形式，使得有正有负的离差变成正的了，由于平方，改变了离差的单位，因此就有必要开平方根而得到与原单位相同的单位。

◢ 4. 变异系数

变异系数（又称离散系数，Coefficient of Variation，CV），当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差太大，或者数据量纲的不同，直接使用标准差来进行比较不合适，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响，而变异系数可以做到这一点，它是标准差与平均值的比。CV没有量纲，这样就可以进行客观比较了。变异系数计算公式 CV =( 标准差 s / 平均值 )× 100%。

以上各个都是反映零散程度的指标，日常工作中，我们用得最多的是极差、标准差（或变异系数），那什么时候用极差，什么时候用标准差呢？查阅体外诊断试剂行业标准，对于试剂的批内精密度（重复性）验证，都是采用标准差（或变异系数）这个指标，但是对于批（号）间差，有的标准采用极差，有的标准采用标准差（或变异系数）。例如这个标准：

再例如这个标准：

我们以一组数据举例来说明两种方法间的差异，例如批号1的3个测试数据：110，115，114，批号2的3个测试数据：101，105，107，批号3的3个测试数据：116，118，120。按照第一种方法计算，极差=14，相对极差R=12%，按照第二种方法计算，标准差=6.4，变异系数CV=6%。两种方法算出来，极差与标准差差别较大，因此相对极差与变异系数差别也很大。相对极差12%反映试剂批号间差异比较大，但是看变异系数CV 6%似乎批间差可以接受，从3批的数据看，试剂批号间差异还是存在的，相对极差12%更接近真实的情况，因为标准差（或变异系数）是以均值为中心计算出来的，在一定程度上抵消了数据大小不等的影响。

最后，一句话总结：数据集中程度和数据离散程度，都是对数据的描述和分析，他们是一对既对立又统一的指标。再回到开头的栗子，假如你是工科男，你会选择哪份工作？

往期回顾：

认识统计学对体外诊断的重要性—统计学在体外诊断中的应用（一）

寻找“离群值”—统计学在体外诊断中的应用（二）

谁来代表我们?—统计学在体外诊断中的应用（三）